Pavages périodiques

La figure suivante montre un pavage du plan. Les polygones images (en pointillés rouges) de la maille polygonale au contour rouge sont obtenus par les translations de vecteurs respectifs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). On observe que ces deux translations permettent, en les répétant et en les combinant, de construire l'ensemble du pavage. On dit que ce pavage est périodique.
Par ailleurs, dans cet exemple, la maille qui pave le plan est composée du motif de base bleu et de son image par symétrie centrale.

Définition

Soit \(\mathcal P\) un pavage du plan. \(\mathcal P\) est dit périodique lorsqu'il existe deux vecteurs non colinéaires du plan, \(\vec u\) et \(\vec v\), tels que \(\mathcal P\) est invariant par la translation de vecteur \(\vec u\) et par la translation de vecteur \(\vec v\).

Propriété

Lorsqu'un pavage est invariant par les translations de vecteurs non colinéaires \(\vec u\) et \(\vec v\), il est invariant pour toute translation de vecteur \(k\vec u+h\vec v\) avec \(k\) et \(h\) deux entiers relatifs.

Remarques

• Une frise est un pavage périodique construit à partir d'un seul vecteur.
  
• Un pavage périodique peut être invariant par d'autres transformations que des translations. Un exemple évident est le pavage du plan par des carrés représenté dans la figure suivante.